Sum of One over Factorials

最近发现了两个挺有趣的式子：

1/(1!) + 1/(3!) + 1/(5!) + 1/(7!) + … = e/2 - 1/(2e)

1/(0!) + 1/(2!) + 1/(4!) + 1/(6!) + … = e/2 + 1/(2e)

怎么发现的呢？看到这个结构的话，就是泰勒展开吧。看到奇偶交替的话， 就会想到 sin 跟 cos 的泰勒展开吧。这么一看的话很显然呢， 根本没有必要为此写一篇博客呢。想想我还真不行，明明就是很无聊的结果， 但发现的以后，还是会很高兴。

总之，先把 cos 的麦克劳林展开写出来：

\begin{equation} \cos x = \frac{x^0}{0!} - \frac{x^2}{2!} + \frac{x^4}{4!} -+ … \end{equation}

当 \(x = i\) 时：

\begin{align} \cos i &= \frac{i^0}{0!} - \frac{i^2}{2!} + \frac{i^4}{4!} -+ … \\\ \cos i &= \frac{1}{0!} + \frac{1}{2!} + \frac{1}{4!} + … \ \end{align}

其中 \(i\) 是虚数单位，下同。

然后，把 sin 的麦克劳林展开写出来：

\begin{equation} \sin x = \frac{x^1}{1!} - \frac{x^3}{3!} + \frac{x^5}{5!} -+ … \end{equation}

当 \(x = i\) 时：

\begin{align} \sin i &= \frac{i^1}{1!} - \frac{i^3}{3!} + \frac{i^5}{5!} -+ … \\\ \sin i &= (\frac{1}{1!} + \frac{1}{3!} + \frac{1}{5!} + …) i \ \end{align}

由（3）、（6）可知：

\begin{align} \cos i - i \sin i &= (\frac{1}{0!} + \frac{1}{2!} + \frac{1}{4!} + …) - (\frac{1}{1!} + \frac{1}{3!} + \frac{1}{5!} + …) \cdot i^2 \\\ &= (\frac{1}{0!} + \frac{1}{2!} + \frac{1}{4!} + …) + (\frac{1}{1!} + \frac{1}{3!} + \frac{1}{5!} + …) \\\ &= (\frac{1}{1!} + \frac{1}{2!} + \frac{1}{3!} + …) \\\ \cos i - i \sin i &= e \end{align}

对欧拉公式：

\begin{equation} e^{i \theta} = \cos \theta + i \sin \theta \end{equation}

当 \(\theta = i\) 时：

\begin{equation} e^{-1} = \cos i + i \sin i \end{equation}

联立（10）、（12），解得：

\[ \begin{cases} e = \cos i - i \sin i \\\ e^{-1} = \cos i + i \sin i \end{cases} \]

\[ \begin{cases} \cos i = \frac{1}{0!} + \frac{1}{2!} + \frac{1}{4!} + … = \frac{e}{2} + \frac{1}{2e}\\\ - i \sin i = \frac{1}{1!} + \frac{1}{3!} + \frac{1}{5!} + … = \frac{e}{2} - \frac{1}{2e} \end{cases} \]

完。

好久没写博客了。就算随便写一篇用来凑数的，也总比不写要好。